Mathematik1Uebungen

28.09.2008

1. Aufgabe

a)

%\[M_1 = \{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31\}\]%

b)

%\[2 * x^2 + 3 * x = 0 \Rightarrow 2 * x^2 + 3 * x - 2 = 0\]% %\[x_12 = \frac{(-b) \pm \sqrt{b^2 - 4 * a * c}}{2 * a} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 * 2 * -2}}{2 * 2}\]% %\[x_1 = \frac{1}{2}; x_2 = -2\]% %\[M_2 = \{-2;\frac{1}{2}\}\]%

c)

%\[x_{1;2} = \frac{(-b) \pm \sqrt{b^2 - 4 * a * c}}{2 * a} = \frac{8 \pm \sqrt{-8^2 - 4 * 2 * 0}}{2 * 2}\]% %\[x_1 = 0; x_2 = 4\]% %\[M_3 = \{0;4\}\]%

2. Aufgabe

Definition der Mengen: %BEGINLATEX% \begin{displaymath} M_1 = \{0,1,2,3\} \end{displaymath} \begin{displaymath} M_2 = \{-1,0,1\} \end{displaymath} %ENDLATEX%

a)

%\[M_1 \cup M_2 = \{-1,0,1,2,3\}\]%

b)

%\[M_1 \cap M_2 = \{0,1\}\]%

c)

%\[M_1 \backslash M_2 = \{2,3\}\]%

3. Aufgabe:

	Definition
%$a = 68$%	Anzahl der Weintrinker
%$b = 75$%	Anzahl der Biertrinker
%$c = 42$%	Anzahl derer, die beides trinken

Ermitteln der reinen Bier- bzw. Weintrinker: %BEGINLATEX% \begin{displaymath} a_\delta = a - c = 68 - 42 = 26 \end{displaymath} \begin{displaymath} b_\delta = b - c = 75 - 42 = 33 \end{displaymath} %ENDLATEX%

Anzahl der Teilnehmer der Umfrage = Bier + Wein + Beides: %\[a_\delta + b_\delta + c = 26 + 33 + 42 = 101 \ne 100\]%

4. Aufgabe

%\[M = 30; M_D = 8; M_E = 13; M_M = 8\]% %\[M_1 = M_D \cap M_E = 4\]% %\[M_2 = M_D \cap M_M = 3\]% %\[M_3 = M_E \cap M_M = 5\]% %\[M_4 = M_D \cap M_E \cap M_M = 1\]%

%\[M_{nurD} = M_D \backslash ((M_1 \cup M_2) \backslash M_4) = 2\]% %\[M_{nurE} = M_E \backslash ((M_1 \cup M_3) \backslash M_4) = 5\]% %\[M_{nurM} = M_M \backslash ((M_2 \cup M_3) \backslash M_4) = 1\]% %\[M_{D+E} = M_1 \backslash M_4 = 3\]% %\[M_{D+M} = M_2 \backslash M_4 = 2\]% %\[M_{E+M}= M_3 \backslash M_4 = 4\]% %\[M_B = M \backslash (M_{D+E} \cup M_{D+M} \cup M_{E+M} \cup M_{nurD} \cup M_{nurE} \cup M_{nurM} \cup M_4) = 30-(3+2+4+2+5+1+1) = 30-18 = 12\]%

5. Aufgabe

%\[A = \{2^x \vert x \in \mathbb{N} \text{ und } 0 < x < 6\}\]% %\[B = \{7x \vert x \in \mathbb{N} \text{ und } 0 < x < 6\}\]%

6. Aufgabe

%\[A_4 = A_5\]%

7. Aufgabe

%BEGINLATEX% \begin{displaymath} A \cap B = \{\} \end{displaymath} \begin{displaymath} A \cup B \cup C = \{x \in \mathbb{R} \backslash \{1\} \} \end{displaymath} \begin{displaymath} A \backslash C = \{x \in \mathbb{R} \vert x < 0\} \end{displaymath} \begin{displaymath} B \backslash C = \{x \in \mathbb{R} \vert x > 1\} \end{displaymath} %ENDLATEX%

8. Aufgabe

a)

%\[A \cap A = A\]%

b)

%\[A \cup \varnothing = A\]%

c)

%\[A \cap (A \cup B) = A\]%

d)

%\[A \cap (B \backslash A) = \varnothing\]%

9. Aufgabe

%\[A = \{1;2\}; B = \{2;3\}; C = \{3;4\}\]% %\[A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\]% %\[\{1;2\} \cup (\{2;3\} \cap \{3;4\}) = (\{1;2\} \cup \{2;3\}) \cap (\{1;2\} \cup \{3;4\})\]% %\[\{1;2\} \cup \{3\} = \{1;2;3\} \cap \{1;2;3;4\}\]% %\[\{1;2;3\} = \{1;2;3\}\]%

10. Aufgabe

%\[A = \{1;2\}; B = \{2;3\}; C = \{3;4\}\]% %\[A \backslash (B \cup C) = (A \backslash B) \cap (A \backslash C)\]% %\[\{1;2\} \backslash (\{2;3\} \cup \{3;4\}) = (\{1;2\} \backslash \{2;3\}) \cap (\{1;2\} \backslash \{3;4\})\]% %\[\{1;2\} \backslash \{2;3;4\} = \{1\} \cap \{1\})\]% %\[\{1\} = \{1\}\]%

11. Aufgabe

a)

%\[\sum_{k=1}^N k^3\]%

b)

%\[\sum_{k=1}^N \frac{k}{2^k}\]%

c)

%\[\sum_{k=1}^N (2k - 1)\]%

d)

%\[\sum_{k=1}^N \frac{1}{(2k -1)*(2k + 1)} = \sum_{k=1}^N \frac{1}{4k^2 - 1}\]%

12. Aufgabe

a)

%\[\sum_{k=1}^n \frac{k}{2^k} = 2 - \frac{n + 2}{2^n}\]% Induktionsvoraussetzung: %\[n = 1 \rightarrow \frac{1}{2^1} = 2 - \frac{1 + 2}{2^1}\]% %\[n = 1 \rightarrow \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\]% Induktionsschritt: %\[n \rightarrow n + 1 \Rightarrow \sum_{k=1}^{n+1} \frac{k}{2^k} = 2 - \frac{(n + 1) + 2}{2^{n + 1}} = 2 - \frac{n + 3}{2^{n + 1}}\]% %\[n \rightarrow n + 1 \Rightarrow \sum_{k=1}^{n+1} \frac{k}{2^k} = \sum_{k=1}^n \frac{k}{2^k} + \frac{n + 1}{2^{n + 1}} = 2 - \frac{n + 2}{2^n} + \frac{n + 1}{2^{n + 1}} = 2 - \frac{n + 3}{2^{n + 1}}\]% Vollständige Induktion:

b)

%\[\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\]% Induktionsvoraussetzung: %\[n = 1 \rightarrow 1^2 = \frac{1 * (1 + 1)(2 * 1 + 1)}{6}\]% %\[n = 1 \rightarrow 1 = 1\]% Induktionsschritt: %\[n \rightarrow n + 1 \Rightarrow \sum_{i=1}^{n+1} i^2 = \frac{(n + 1)((n + 1) + 1)(2(n + 1) + 1)}{6} = \frac{2n^3+9n^2+13n+6}{6}\]% %\[n \rightarrow n + 1 \Rightarrow \sum_{i=1}^{n+1} i^2 = \sum_{i=1}^n i^2 + (n+1)^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + (n+1)^2 = \frac{2n^3+9n^2+13n+6}{6}\]% Vollständige Induktion:

c)

%\[\sum_{i=1}^n i^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}\]% Induktionsvoraussetzung: %\[n = 1 \rightarrow 1^3 = \frac{1^2(1+1)^2}{4}\]% %\[n = 1 \rightarrow 1 = 1\]% Induktionsschritt: %\[n \rightarrow n + 1 \Rightarrow \sum_{i=1}^{n+1} i^3 = \frac{(n+1)^2((n+1)+1)^2}{4} = \frac{(n+1)^2*(n+2)^2}{4}\]% %\[n \rightarrow n + 1 \Rightarrow \sum_{i=1}^{n+1} i^3 = \sum_{i=1}^n i^3 + (n+1)^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} + (n+1)^3 = \frac{(n+1)^2*(n+2)^2}{4}\]% Vollständige Induktion: