! Mathematik4Uebungen

1. Beispiel

%BEGINLATEX% \begin{eqnarray*} a \oplus b & = & a + b + e\a \odot b & = & a + b + a \cdot b\\\mathrm{K_1}:&\a \oplus b & = & b \oplus a\\Rightarrow a + b + e & = & b + a + e\\\mathrm{K_2}:&\( a \oplus b ) \oplus c & = & a \oplus ( b \oplus c )\\Rightarrow ( a \oplus b ) \oplus c & = & ( a + b + e ) \oplus c \& = & a + b + e + c + e\& = & a + ( b \oplus c ) + e\& = & a \oplus ( b \oplus c )\\\mathrm{K_3}:&\a \oplus z & = & z \oplus a\\Rightarrow a \oplus z & = & a + z +z\& = & a \Rightarrow z = 0\\\mathrm{K_4}:&\a \oplus a^{-1} & = & a^{-1} \oplus a\& = & e\\Rightarrow a \oplus a^{-1} & = & e = 0 = a + a^{-1} + e\\Rightarrow a^{-1} & = & -a\\\end{eqnarray*} %ENDLATEX%

%BEGINLATEX% \begin{eqnarray*} \mathrm{K_5}:&\a \odot b & = & b \odot a\\Rightarrow a + b + a \cdot b & = & b + a + b \cdot a\\\mathrm{K_6}:&\(a \odot b) \odot c & = & a \odot (b \odot c)\\Rightarrow (a \odot b) \odot c & = &(a + b + a \cdot b) \odot c\& = & ( a + b + a \cdot b) + c + (a + b + a \cdot b) \cdot c\& = & a + a \cdot b + a \cdot c + (b + c + b \cdot c) + a \cdot b \cdot c\& = & a + (b \odot c) + a \cdot (b + c + b \cdot c)\& = & a \odot (b \odot c)\\end{eqnarray*} %ENDLATEX%

%BEGINLATEX% \begin{eqnarray*} \\mathrm{K_7}:&\a \cdot e^* & = & e^* \cdot a = a\a \cdot e^* & = & a + e^* + a \cdot e^* = a\& = & e^* \cdot (1 + a) = 0\\Rightarrow e^* & = & 0\\\mathrm{K_8}:&\a \odot a^{-1} & = & a^{-1} \odot a = e^*\\Rightarrow a \odot a^{-1} & = & e^* = 0\& = & a + a^{-1} + a \cdot a^{-1}\& = & a + a^{-1} \cdot (1 + a)\a^{-1} & = & \frac{-a}{1 + a}\\\mathrm{K_9}:&\( a \oplus b) \odot c & = & (a \odot c) \oplus (b \odot c)\\Rightarrow ( a \oplus b) \odot c & = & (a + b + e) \odot c\& = & (a + b + e) + c + (a + b + e) \cdot c\& = & a + b + e + c + a \cdot c + b \cdot c + e \cdot c\& = & (a + c + a \cdot c) + (b + c + b \cdot c) + e \& = & ( a \odot c) \oplus (b \odot c) \end{eqnarray*} %ENDLATEX%

2. Beispiel

%BEGINLATEX% \begin{eqnarray*} m &=& 792\\alpha \cdot t & \equiv & 1 \textrm{ mod } m\\alpha \cdot 89 & \equiv & 1 \textrm{ mod } 792\\end{eqnarray*} %ENDLATEX%

ggT(792, 89)

%BEGINLATEX% \begin{eqnarray*} 792 &=& 89 \cdot 8 + 80\89 &=& 80 \cdot 1 + 9\80 &=& 9 \cdot 8 + 8\9 &=& 8 \cdot 1 + 1\1 &=& 1 \cdot 1 + 0\ggT &=& 1\\end{eqnarray*} %ENDLATEX%

ggT(792, 123)

%BEGINLATEX% \begin{eqnarray*} 792 &=& 123 \cdot 6 + 54\123 &=& 54 \cdot 2 + 15\54 &=& 15 \cdot 3 + 9\15 &=& 9 \cdot 1 + 6\9 &=& 6 \cdot 1 + 3\6 &=& 3 \cdot 2 + 0\ggT & \ne & 1 \Rightarrow \textrm{ nicht invertierbar } \end{eqnarray*} %ENDLATEX%

%BEGINLATEX% \begin{eqnarray*} 1 &=& 9 - 8 \cdot 1\&=& 9 - 1 \cdot (80 - 9 \cdot 8)\&=& 9 \cdot 9 - 80\&=& 9 \cdot (89 - 80) - 80\&=& 9 \cdot 89 - 10 \cdot 80\&=& 9 \cdot 89 - 10 \cdot (792 - 89 \cdot 8)\1 &=& 89 \cdot 89 - 10 \cdot 792\\Rightarrow \alpha &=& 89 \end{eqnarray*} %ENDLATEX%

3. Beispiel

%BEGINLATEX% \begin{eqnarray*} S &=& \{x + y \cdot 3^{\frac{1}{3}} + z \cdot 9^{\frac{1}{3}}\}\\\mathrm{R_1}:&\a \oplus b \in M &\Rightarrow& x + y \cdot 3^{\frac{1}{3}} \in Q\\\mathrm{R_2}:&\(a \oplus b) \oplus c &=& a \oplus (b \oplus c)\x + y \cdot 3^{\frac{1}{3}} + z \cdot 9^{\frac{1}{3}} &=& x + y \cdot 3^{\frac{1}{3}} + z \cdot 9^{\frac{1}{3}}\\\mathrm{R_3}:&\a \oplus b &=& b \oplus a\x + y \cdot 3^{\frac{1}{3}} + z \cdot 9^{\frac{1}{3}} &=& x + y \cdot 3^{\frac{1}{3}} + z \cdot 9^{\frac{1}{3}}\\\mathrm{R_4}:&\a \oplus a^{-1} &=& a^{-1} \oplus a = e\x + x^{-1} &=& e\x^{-1} &=& -x + e\\\mathrm{R_5}:&\e \oplus a &=& a \oplus e = a\e + x &=& x\e &=& 0\\mathrm{R_6}:&\a \odot ( b \odot c) &=& (a \odot b) \odot c\x \cdot y \cdot 3^{\frac{1}{3}} \cdot z \cdot 9^{\frac{1}{3}} &=& x \cdot y \cdot 3^{\frac{1}{3}} \cdot z \cdot 9^{\frac{1}{3}}\\\mathrm{R_7}:&\a \odot (b \oplus c) &=& (a \odot b) \oplus (a \odot c)\x \cdot (y \cdot 3^{\frac{1}{3}} + z \cdot 9^{\frac{1}{3}}) &=& x \cdot y \cdot 3^{\frac{1}{3}} + x \cdot z \cdot 9^{\frac{1}{3}}\x \cdot y \cdot 3^{\frac{1}{3}} + x \cdot z \cdot 9^{\frac{1}{3}} &=& x \cdot y \cdot 3^{\frac{1}{3}} + x \cdot z \cdot 9^{\frac{1}{3}}\\end{eqnarray*} %ENDLATEX%

4. Beispiel

%BEGINLATEX% \begin{eqnarray*} M &=& 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11\M &=& 1155\\M_1 &=& \frac{1155}{3}\M_1 &=& 385\\M_2 &=& \frac{1155}{5}\M_2 &=& 231\\M_3 &=& \frac{1155}{7}\M_3 &=& 165\\M_4 &=& \frac{1155}{11}\M_4 &=& 105\\385 \cdot N_1 &\equiv& 1 \textrm{ mod } 3\\Rightarrow N_1 &=& 1\\231 \cdot N_2 &\equiv& 1 \textrm{ mod } 5\\Rightarrow N_2 &=& 1\\165 \cdot N_3 &\equiv& 1 \textrm{ mod } 7\\Rightarrow N_3 &=& 2\\105 \cdot N_4 &\equiv& 1 \textrm{ mod } 11\\Rightarrow N_4 &=& 2\\x &=& 2 \cdot 385 \cdot 1 + 3 \cdot 231 \cdot 1+ 1 \cdot 165 \cdot 2 + 4 \cdot 105 \cdot 2\x &=& 2633\x &=& 323 \textrm{ mod } 1155 \end{eqnarray*} %ENDLATEX%

5. Beispiel

%BEGINLATEX% \begin{eqnarray*} & & 389 \cdot m + 167 \cdot n\\389 &=& 167 \cdot 2 + 55\167 &=& 55 \cdot 3 + 2\55 &=& 2 \cdot 27 + 1\2 &=& 1 \cdot 2 + 0\\1 &=& 55 - 2 \cdot 27\&=& 55 - (167 - 55 \cdot 3) \cdot 27\&=& 55\cdot 82 - 167 \cdot 27\&=& 82 \cdot (389 - 167 \cdot 2) - 167 \cdot 27\1 &=& 389 \cdot 82 - 167 \cdot 191 \end{eqnarray*} %ENDLATEX%